Ejercicios y Ejemplos

Ejercicio Practico 1

Ejercicio Practico 2

Ejercicio Practico 3

4. Dados los focos de una elipse F1= (3,8)  F2= (3,2) y la longitud de su eje mayor = 8  encuentre la ecuación  de la elipse.

Si observamos bien los puntos nos damos cuenta que están  paralelos al eje y , por lo tanto su eje mayor está en el eje y.

Su centro está en la coordenada (h, k)= (3,5) porque la longitud del eje mayor es 8.

Los vértices  de la elipse ubicados en  el eje mayor son: (3,1): (3,9)

Teniendo esto la ecuación de la elipse es: 

C=3  porque a 8  coordenada en y del foco 1  se le resta 5  coordenada de y del centro en (h,k) nos da como resultado 3, también podríamos a  la coordenada en y del punto del centro restarle la coordenada en y del foco 2 y tendríamos nuevamente que c=3.

La gráfica finalmente queda así:

Para el siguiente ejercicio utilizamos el software llamado GEOGEBRA

Dada las siguientes ecuaciones graficar la elipse y decir cómo es su eje focal.

En esta ecuación podemos apreciar que el semieje mayor (a²=36) se encuentra debajo de la Y, lo que quiere decir, que  el semieje mayor va a estar verticalmente, sobre el eje de la Y.  Por lo tanto el eje focal es vertical.

Ahora graficaremos.

Estando en Geogebra, damos clic envista y luego  cuadrícula invisible).

En la parte de abajo del software ubicamos entrada y  escribimos la ecuación.  En nuestro caso en la ecuación hay términos elevados al cuadrado, para poder introducirlos nos vamos al extremo derecho de la barra de entrada y ubicamos los símbolos  indicados por a, seleccionamos nuestro símbolo, introducimos toda la ecuación y damos enter.

Elegimos el icono desplazar, desplazar vista gráfica para poder ver bien la gráfica.

Si queremos ubicar los vértices: seleccionar dos puntos fijos y cambiarle el nombre dando clic en selección, clic derecho en el punto, renombra, se colocan los vértices (V1; V2).

Ya tenemos los vértices.

Para crear los focos, elegimos otra vez dos puntos dentro de la elipse y los renombramos como F1 y F2: seleccionar dos puntos fijos y cambiarle el nombre dando clic en selección, clic derecho en el punto, renombra, se colocan los focos (F1; F2).

Para comprobar nuestro concepto de elipse, nos ubicamos en un punto cualquiera de la grafica, en este caso en las coordenadas (3; 0), y trazamos dos segmentos del punto p a F1 y del punto p a F2.

Damos clic derecho sobre el segmento F1, p y renombramos y hacemos lo mismo con el otro segmento (dF1p) y (dpF2).

Trazamos un segmento de V1 a V2, seleccionamos el segmento con clic derecho como lo hicimos anteriormente y lo renombramos (dV1V2) ok. 

Luego le pedimos a Geogebra que nos dé la medida. Clic derecho sobre la línea, propiedades de los objetos, nombre y valor y, hacemos lo mismo con el otro segmento. Hacemos lo mismo con el segmento V1V2.

Ubicaremos un texto dinámico para lo cual nos vamos a la barra de herramientas y le damos clic en el icono ABC y digitamos la distancia de dF1p + dpF2 = objeto y seleccionamos y sumamos las distancias = y hacemos el mismo proceso y ok.

Hacemos clic derecho sobre el texto, propiedad de los objetos, seleccionamos el color y el tamaño del texto.

Comprobamos que la elipse cumple con la definición que es la suma de dos puntos fijos llamados focos es igual a una constante, se evidencia que esa distancia es igual a la distancia de V1 a V2.