Teoría de las Cónicas elípticas

Cónicas es el conjunto de puntos en el plano para los cuales la razón entre la distancia de los mismos a un punto (llamado foco) y la distancia a una recta (llamada directriz) dan una constante. (Llamada “e” excentricidad).


Existen tres clases de cónicas: parábola, Hipérbola y elipse.


La forma de diferenciar las cónicas es en la excentricidad ya que, en la parábola e=1, en la hipérbola e>1 y por último la elipse en donde e < 1.


Para nuestro caso en especial hablaremos de las cónicas elípticas que ha contribuido con incontables y apreciados aportes a la física.


Esta cónica es representada  por la ecuación:


Esta ecuación  tiene los números a y b positivos, su centro es en el origen es decir,  en la coordenada (0,0): se llama elipse en su posición estándar.  Por ejemplo se tiene algo así:


Las elipses poseen un eje mayor y uno menor como se muestra en la siguiente figura.


Este caso es para cuando el denominador de x al cuadrado es mayor, que el denominador de y al cuadrado por lo tanto  su eje mayor esta  en el eje de las x.

Si el denominador  de x al cuadrado es menor que el de la y al cuadrado  entonces la elipse tiene su eje mayor en el eje de las y como se muestra a continuación. 


Las elipses poseen dos focos que se encuentran   ubicados en el eje mayor a la misma distancia  del centro de la elipse, en nuestro grafico los focos son  representados  por las siguientes  coordenadas  tomando en una a c positiva y en la otra a c, como negativa es decir:    las coordenadas de los focos son  (±c, 0).

Para hallar c  se tiene esta relación ya sea para las elipse con eje mayor en las x o en las y.

Dónde:
De esta ecuación hay que despejar c y listo remplazamos los valores de a y de b, obteniendo de esta forma el valor de c.

Para graficar una elipse se  debe tener en cuenta su eje mayor.  Un aspecto importante en este tipo de cónicas es que  el denominador de la x al cuadrado si sacamos su  raíz cuadrada, el número que dé como resultado  es el que se  ubica en el eje x, lo mismo pasa con el denominador de la y al cuadrado solo que ahora  el resultado de la raíz se ubica en el eje y.  los focos  siempre deben ir en el eje mayor ya sea en el x o en el y,   además de esto también se deben tener presente que las elipses poseen  cuatro   vértices. 
veamos el siguiente vídeo que nos ubicá de acuerdo a lo explicado  hasta el momento de la teoría de elipses con centro en el origen.


  • Andalón (2010). Elementos de una elipse dada su ecuación (centro origen)

     [Vídeo]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=wO3fYo1P_2Q
Daremos un ejemplo para tener más claro lo que se ha teorizado hasta el momento de elipses con centro  en el origen.

En este ejemplo el eje mayor está ubicado en el eje de las x.


Sabemos que existen ciertos tipos de elipses con centro que  no son el origen por lo tanto definiremos la ecuación para este tipo de elipse trasladada.


 la elipse como ya lo hemos visto, dependiendo del valor del denominador  el cual   nos  indica donde esta su eje mayor y menor.


El proceso para la gráfica es realizado análogamente a como se realiza para una elipse con el centro en el origen la única variación es que ahora el origen  es en (h, k) y a los focos hay que sumarle y retarle c, si el eje mayor es en y entonces le sumamos y retamos c a k, si el eje mayor es en la x se le suma y resta c a h veámoslo en gráficas.


Para una elipse de  eje mayor en y, los vértices se hallan de la misma forma como lo presenta la gráfica para la elipse con eje mayor en x, sin embargo los focos ya no se les sumará c a  h sino que se le sumará y restará  c es a k. 

A continuación  veremos el siguiente video en el cual nos muestra la explicación de nuestra teoría y un ejemplo.



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